Como vimos, la preferencia temporal nos reveló la relevancia del concepto de interés, en el sentido de que si yo estoy dispuesto a no utilizar mi dinero hoy, es porque recibiré una suma mayor en el futuro. Recordemos que dejar el dinero en una cuenta bancaria solo significará que perderá poder adquisitivo producto de la inflación. Tal como sucede con la especulación, el interés (la usura) fue fuertemente criticado en Occidente por la Iglesia Católica. Pero el interés tiene una razón de ser.

Por ejemplo, desde el punto de vista del prestamista, al ceder dinero, se descapitaliza perdiendo la oportunidad de realizar otras inversiones atractivas (costo de oportunidad). Cuando se presta dinero se corre el riesgo de no recuperarlo o perderlo, (el riesgo se toma si existe una compensación atractiva). Por lo demás, y como ya afirmé anteriormente, el dinero está sujeto a procesos inflacionarios y devaluatorios implicando la pérdida en el poder adquisitivo. Por último, debemos tener en consideración que quien recibe el dinero en préstamo normalmente obtiene beneficios, por lo cual es lógico que el propietario del dinero(prestamista), participe de esas utilidades.

Por ende, el interés originario (siguiendo a la Escuela Austriaca) se encuentra estrechamente vinculado con el fenómeno de la preferencia temporal en el sentido de que si un país cuenta con muchos ahorros, es porque la población tiene una baja preferencia temporal. Pero sabemos que en la práctica esto no es así ya que interés de referencia es fijado por el Banco Central el cual a su vez influye en el interés interbancario y en la distintas tasas que las personas pagan en su vida diaria (en otras palabras, el interés no reflejaría la preferencia temporal de la sociedad). En nuestra vida diaria tenemos podemos entender el interés como el ”precio del dinero (para prestarlo y solicitarlo en préstamo) o el cobro que se realiza por prestar dinero.

La tasa de interés es una relación entre rentabilidad obtenida y capital utilizado que se expresa porcentualmente. En otras palabras se expresa como la relación que se da entre lo que se recibe de interés y la cantidad invertida. Si Invierto 100.000 y al final del primer año tenemos 110.000, tenemos que:

Monto Final – Monto Inicial = $110.000 - $100.000 = $10.000

Tasa de interés (r) = Interés/Monto Inicial = $10.000/$100.000 = 0,1 = 10%

Si la tasa de interés es 25% anual significa que por cada 100 pesos que se inviertan (o prestan) se generarán intereses de $25 cada año y si la tasa de interés es 15% semestral: por cada cien pesos se recibirán o se pagarán $15 cada seis meses.

En síntesis, el interés puede ser entendido como

-El precio que se paga por usar dinero.

-El valor del dinero en el tiempo

-El Rendimiento de una inversión

-La utilidad o ganancia.

-Un incentivo para postergar el consumo presente

Otro concepto importante relacionado es el de interés nominal y real, siendo este último el interés descontando la inflación. Puesto en términos simples, si invertí 1000 y recibo 1.100 a final de año entonces, la rentabilidad “nominal” es del 10% (y un beneficio de 100) Pero ¿qué sucede si la inflación es de 15%? Claramente y en términos “reales” mi rentabilidad es menor. Para tener una idea de cuál sería la rentabilidad real de nuestro ejemplo, debemos utilizar la siguiente fórmula y nos daremos cuenta que la rentabilidad es negativa

(1 + 0.1) / (1 + 0.15) – 1

1,1/ 1.15 – 1

= -4,35

Imagine que tiene USD 100.000 en un depósito a plazo que le reportará un 9% al final del año y en donde la Inflación es del 6%. Para calcular la rentabilidad real deberá proceder de la misma manera:

(1 + 0.09) / (1 + 0.06) – 1

1.09 / 1.06 – 1

= 2.83%.

Tenemos pues que, al invertir, buscamos “capitalizar” siendo esto último el proceso de proyectar un capital inicial a un periodo de tiempo posterior, con base en un tipo de interés. Demos un paso más y abordemos los conceptos de interés simple y compuesto. El interés simple se paga únicamente sobre el depósito inicial durante el tiempo que este es mantenido, tal como lo podemos apreciar en la siguiente imagen:

1a.-Examinemos un ejemplo de cómo se calcula. Si “X” invierte 50.000 en un depósito que paga 6,5% anual de interés simple por 4 años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses? Tenemos los siguientes datos:

Cn = 50.000 r= 0,065 t= 4 años

Fórmula para obtener interés = Cn x r x n

50.000 x 0,065 x 4 = 13.000 + 50.000 = 63.000

O se puede realizar lo siguiente para obtener el valor final final (principal más intereses):

Cn x (1 + r x n) = 50.000 (1 + 0.065 x 4) = 63.000

1b. Continuemos con el mismo ejemplo, pero ahora la pregunta será cómo calcular la tasa de interés necesaria para obtener una rentabilidad específica. Invertí 50.000 en un depósito por 4 años y obtuve 13.000 (interés simple). ¿Cuál fue la tasa de interés? Tenemnos que

Cn = 50.000 r= ? t= 4 años. I = 13.000

Fórmula para obtener la tasa de interés =

I/ Cn x n

13.000/50.000 x 4

13.000/200.000 = 6,5%

2a.Examinemos un último ejemplo para calcular el interés simple y la tasa de interés necesaria (como en el ejemplo anterior). Winston Churchill invierte 72.000 en un depósito que paga 7,5% anual de interés simple por 4 años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses?

Cn = 72.000 r= 0,075 t= 4 años

72.000 x 0,075 x 4 = 21.600

O puede realizar lo siguiente:

Cn x (1 + r x n)

72.000 (1 + 0.075 x 4) = 21.600 + 72.000 = 93.600

2b. Siguiendo con el mismo ejemplo, ahora deseamos calcular la tasa de interés. Winston Churchill invierte 72.000 en un depósito (interés simple) por 4 años y le generó 21.600. ¿Cuál fue el interés?

Cn = 72.000 r= ? t= 4 años. I = 21.600

Fórmula para obtener interés =

I/ Cn x n

21.600/72.000 x 4

21.600/288.000 = 7,5%

3.Ahora veamos un ejemplo de cómo calcular el tiempo necesario: Marie Curie invierte 72.000 en un depósito que paga 6,5% anual de interés, lo que significó obtener 21.600 en intereses ¿Cuánto tiempo requirió?

Cn = 72.000 r= 0,075 t= ?. i = 21.600. Cf = 93.600

Fórmula para calcular el tiempo:

Cf - Cn / Cn x r

93.600 - 72.000 / 72.000 x 0,075

21.600/5400 = 4 años

Pasemos ahora al interés compuesto que es cuando usted gana intereses tanto sobre el dinero que ha ahorrado como sobre el interés que gana. Veamos el siguiente ejemplo en donde muestro un caso en donde se invierten 200 por 2 años y en donde el interés es del 3%. El primer caso es con interés simple y en el segundo con interés compuesto. En el caso del interés simple la persona obtendrá en el año 1 y en el año 2 $6 respectivamente ($12 en total). En el caso del interés compuesto, en el año 1 la persona obtendrá $6 pero en el año 2 obtendrá un interés de $6.18. En el año 2 el interés del 3% se calcula no sobre 200 sino que sobre los $206 (6.18)

1-Interés simple

Cn x (1 + r x n)

200 (1 + 0,03 x 2)

200 (1 + 0,06)

200 x 1,06 = 212

2-Interés compuesto

Cn x (1 + r)n

200 (1 + 0,03)2

200 (1,03)2

200 (1,0609) = 212,18

Esto lo podemos ver también de manera detallada en el siguiente ejemplo, en donde el interés se calcula sobre la base del monto inicial + el interés (interés sobre interés)

Examinemos algunos ejemplos sobre cómo calcular el interés compuesto.

1. Platón invierte 1.000.000 en un fondo mutuo durante 6 meses a un tipo de interés compuesto mensual del 7%

Cn= 1.0000.000 r = 7% (0,07) n= 6 meses

Fórmula: Cn (1 + r)n

1.000.000 (1 + 0,07) 6

1.000.000 (1,50073)

Cf = 1.500.730

Antes de pasar al concepto de valor presente o actual quisiera hacer un paréntesis. Para calcular la tasa de rendimiento promedio de una inversión – teniendo en consideración el efecto del interés compuesto – se utiliza la media geométrica, puesto que esta considera su impacto por lo que nos da un resultado más preciso. Dicho en otras palabras, la media geométrica tiene en consideración los rendimientos de años anteriores y después de cada año los valores modificados constituyen la nueva línea de base para calcular el interés (el ejemplo posterior clarificará esto). Así, mientras la media aritmética trata cada año como si fuese uno independiente del otro, la media geométrica los vendría a conectar. La media geométrica se utiliza para periodo de largo plazo de manera que en cada año el rendimiento obtenido es el resultado del interés compuesto. Así, durante períodos de tiempo más largos la media geométrica es más conveniente puesto que toma en cuenta el interés compuesto, ya que la media aritmética tiende a exagerar el resultado.

En síntesis, estamos hablando de dos tipos de secuencias comunes dentro de las matemáticas: las aritméticas y las geométricas. En el caso de la primera, existe una diferencia constante entre cada par de términos consecutivos (1,2,3,4 o 2,4,6,8). Por su parte, en la secuencia geométrica tenemos la existencia de un multiplicador constante (2,6,18,54)

En el primer ejemplo el rendimiento promedio no varía significativamente si utilizamos la media aritmética o la media geométrica. Veamos el ejemplo en donde inviertes 100 dólares y obtienes las siguientes rentabilidades (que no muestran una variación significativa en cada año)

Año 1: 3%

Año 2: 4%

Año 3: 4%

Año 4: 5%

Año 5: 6%

Calculemos y veamos cuanto aumentó la inversión inicial:

100 (1 + 0,03) = 103

103 (1 + 0,04) = 107,12

107,12 (1 + 0,04) = 111,4048

111,4048 (1 + 0,05) = 116,975

116,975 (1 + 0,06) = 123,994

Calculemos la media geométrica. Añadimos 1 a los intereses, multiplicamos y elevamos a 1 dividido por el número de años que en este caso es 5 (o lo mismos sería calcular la raíz quinta del resultado de la multiplicación como se ve en la fórmula a continuación) y restamos 1.

Primero dejo aquí la fórmula en donde vemos el símbolo multiplicatorio ∏ y “X” son en este caso los rendimientos anuales

De acuerdo con esto:

(1,03 x 1,04 x 1,04 x 1,05 x 1,06) 1/5 - 1

= 4,39% :en promedio la inversión ha experimentado ese rendimiento (compuesto) año por año durante el período considerado.

Ahora aplicamos la “media aritmética"{ tenemos que

(3% + 4% + 4% + 5% + 6 %) /5

= 4,4%

Ahora veamos otro ejemplo donde hay una variación importante entre las rentabilidades veremos que la media aritmética nos da un resultado superior al de la media geométrica.

100 (1 + 0,03) = 103

103 (1 + 0,04) = 107,12

107,12 (1 + 0,4) = 149,968

149,968 (1 + 0,2) = 179,9

179,9 (1 + 0,5) = 269,9

Calculamos la media geométrica:

(1,03 x 1,04 x 1,4 x 1,2 x 1,5) 1/5 - 1

= 21,97%

Ahora si calculamos la media aritmética vemos que el resultado es superior al de la media geométrica:

(3% + 4% + 40% + 20% + 50%)/ 5

= 23,4%

Valor presente o actual

Dejemos atrás la capitalización en donde hemos ido del presente al futuro (capitalizar) que es con lo que más estamos familiarizados. Ahora pasaremos a realizar el proceso inverso, es decir, ir del pasado al presente (descuento o valor actual)

Examinemos los 2 ejemplos a continuación. En el primero vamos del presente al futuro y en el segundo del futuro al presente. En ambos incluyo las respectivas fórmulas para calcular:

1-Cuánto obtendrás en 3 años si inviertes 100, el interés es 10% y durante 3 años

Cf = Cn (1 + r) n

$100 x (1 + 0,10)3 = 133

2- Cuánto deberías invertir hoy para obtener 133 en 3 años siendo la tasa del 10%

Cn = Cf /(1 + r) n

$133/(1 + 0,10)3 = 100

Para que este concepto de valor presente haga más sentido, examinemos el siguiente ejemplo: Se te presenta un negocio, pero te piden adelantar 4.900.000 con la promesa de que recibirás 5.000.000 en año. Aquí suponemos que la persona es confiable y que efectivamente recibirás esa suma (eliminamos el riesgo e incertidumbre). Teniendo esto en consideración, ¿es un buen negocio? Deberías preguntarte ¿cuánto debería invertir hoy para obtener 5.000.000 en 1 año? Imaginemos que ese mismo dinero podrías invertirlo en un activo financiero libre de riesgo a un 5% durante 1 año. Si invierto 4.900.000 en un depósito a plazo (1 año) a una tasa del 5% obtendremos 5.145.000, de manera que no me conviene la propuesta. Ahora, si vamos del futuro al pasado tenemos que para obtener 5.000.000 en 1 año, deberíamos invertir “hoy” 4.761.905 (5.000.000/1,05) y tu amigo te pide que le des 4.900.000: no es buen negocio.

Veamos otro ejemplo simple: Te proponen invertir 950 y con la promesa de que te devolverán 1.000 en 1 año (siendo r = 7%)

Formula Valor Presente:

VA = VF / (1 + r) n

= USD 1.000 / (1,07)

= 934,58 (si inviertes eso hoy a un 7% obtienes 1000, por ende no es buen negocio)

La situación cambiaría si subiera el tipo de interés, en el sentido de que, a medida que aumenta “r”, Valor Presente será menor. Si “r” es 8% necesitaría invertir 926 para obtener 1000 en un año y si fuese 9% tendría que invertir 917. Como muestra la imagen podemos ir calculando el valor presente de distintos flujos futuros:

Examinemos un último ejemplo. Te proponen invertir 8000 en un proyecto y al cabo de 5 años recibirás 10.000 ¿Vale la pena? Debes saber cuánto valen esos 10.000, pero “hoy” y a la tasa de interés de hoy (ej = 10%)

VA = VF / (1 + r) n

= USD 10.000 / (1,1) 5

= USD 6.209

Si inviertes hoy 6.209 a un 10% obtendrás 10.000 (y te ofrecen poner 8.000) ¿Cuánto ganarías (5 años) si inviertes 8 mil a un 10%? (respuesta: 12.884)

Artículos complementarios

Introducción básica a la Economía (por Jan Doxrud)

Economía: lo que se ve y lo que no se ve (por Jan Doxrud)

Dinero: ¿de qué estamos hablando? (por Jan Doxrud)

Breve introducción a la Teoría cuantitativa del dinero: ¿de qué estamos hablando? (por Jan Doxrud)

Inflación: ¿de qué estamos hablando? (por Jan Doxrud)

PIB potencial, crecimiento potencial: ¿de qué estamos hablando? (por Jan Doxrud)

Tipo de cambio (economía): ¿de qué estamos hablando? (por Jan Doxrud)

Los bancos, reserva fraccionaria y otros temas (por Jan Doxrud)

Breve comentario: dos libros sobre delirios financieros (por Jan Doxrud)

1/7- Política monetaria ¿de qué estamos hablando? Introducción (por Jan Doxrud)

2/7- Política monetaria ¿de qué estamos hablando? (por Jan Doxrud)